Le masque de Bahtinov expliqué

Pavel Bahtinov, un astronome amateur russe a imaginé un système à fentes pour aider à la mise au point des télescopes. Il a expliqué sa méthode le 22 avril 2005 sur le forum Астро форум. Cet article va plus loin dans la description physique de ce masque.

La genèse

Auparavant, les astronomes utilisaient un masque de Hartmann pour aider la mise au point. Ce masque consiste en plusieurs trous de formes diverses selon les personnes. Tant que la mise au point n’est pas bonne, l’image d’une étoile (très) lumineuse est répartie en autant de points qu’il y a de trous. Ces images se rassemblent quand la mise au point est atteinte.

Masque à 3 triangles

Image défocalisée

Image focalisée

Pavel Bahtinov a constaté que lorsque la forme des trous était triangulaire, les aigrettes se superposaient une fois focalisation obtenue. Il était même plus précis de superposer les aigrettes – quand on arrivait à les voir – que de juger de la superposition des tâches des images de l’étoile. Mais voir ces aigrettes était quasiment impossible tant elles étaient faibles, une caméra avec un gain élevé était nécessaire.

En fait, chaque aigrette est générée par la diffraction sur les côtés des triangles. La figure de diffraction part du centre de l’image de l’étoile, puis, s’étale sur les côtés en de multiples spectres de décomposition de la lumière de l’étoile.

Plus la longueur des arêtes vives du masque est longue, plus l’aigrette sera visible. Mais il n’est pas possible d’agrandir indéfiniment les triangles dans le masque de Hartmann, on doit effectivement rester dans l’ouverture du télescope. Le russe a donc eu l’idée géniale d’oublier la forme triangulaire et de remplacer les triangles par des fentes de même orientation (ou presque) que les côtés des triangles. Il préconise déjà un angle de 20° environ pour les fentes inclinées, angle qui permet selon lui de juger au mieux de l’alignement de la barre entre les deux branches du X et propose cette solution :

Les premières images réalisées avec ce masque ne tardent pas à arriver. Alexandre L montre le résultat le 31 octobre 2005. Les images ne sont pas extraordinaires, le masque n’est pas encore assez lumineux avec ses 3 ou 4 fentes dans chaque groupe, mais l’idée est jugée très séduisante.

Le 12 décembre 2005, Pavel optimise le remplissage de l’ouverture et propose ce qui va devenir le célèbre « masque Bahtinov ». Notez que ce n’est pas lui qui a donné le nom à son invention, mais ses utilisateurs, dans la lignée des masques de Hartmann.

Pavel Bahtinov et des colistiers du forum russe apportent aussi quelques préconisations sur la conception du masque :

  • L’angle de 20° maximise la perception visuelle du centrage de la barre dans le X
  • Si la largeur de la fente est égale à la moitié du pas p des fentes (lfente=p/2), le deuxième ordre du spectre de diffraction n’est pas visible. C’est le réglage à retenir pour les longues focales, avec lesquelles le 1er ordre est bien identifiable.
    Si la largeur des fentes et égal à environ 3/8 du pas (lfente=0,38*p), ce sont les premier et deuxième ordres du spectre de diffraction qui sont optimisés. C’est le réglage à retenir pour les courtes focales pour lesquelles le 1er ordre n’est pas discernable de l’ordre 0.
  • Carey, qui a proposé un masque alternatif sur le même principe, a montré que ni l’inclinaison ni le centrage du masque par rapport à l’axe optique n’ont d’importance sur la précision de la mise au point
  • L’amplitude du déplacement des aigrettes en fonction de la défocalisation est proportionnelle à la séparation des barycentres des fentes droites et des fentes inclinées. On gagne donc en précision en écartant ces zones.
  • L’épaisseur des aigrettes dépend principalement de la turbulence atmosphérique qui va les disperser.
  • Le chromatisme et l’aberration de sphéricité vont « tordre » les aigrettes.

La diffraction

Pavel a posté une explication physique (en russe) du fonctionnement de son masque. Tout repose sur les propriétés de la diffraction d’un réseau.

Le masque est constitué de 3 réseaux grossiers. Un premier (1), qui s’étend sur la moitié du masque, présente des fentes horizontales. Les deux autres (2a et 2b) occupent un quart du masque et sont inclinées de façon opposée d’un angle \alpha. Les fentes ont un pas noté d, et la partie ajourée a une largeur notée a.

Chaque réseau va générer une aigrette d’interférence, perpendiculaire à l’orientation des fentes. Chaque aigrette a un centre très lumineux, suivi de divers spectres arc-en-ciel répartis de façon symétrique par rapport au centre. Le centre est appelé l’ordre 0 et n’est que l’image de la cible, en l’occurrence l’étoile. Les arc-en-ciel sont numérotés ensuite dans leur séquence, le premier est dit « ordre 1 », le second « ordre 2 », ainsi de suite. Plus les ordres sont éloignés plus ils sont étalés et plus leur intensité est faible. L’ordre est noté m.

Dimensions des fentes

Après quelques développements mathématiques, on peut écrire que le spectre d’ordre m a une intensité I_m proportionnelle à :

I_m \propto \dfrac{\sin^2{\left( m \pi \dfrac{a}{d} \right)}}{m^2}

Cela permet de tracer la courbe d’évolution des intensités lumineuses de chaque ordre en fonction du ratio \frac{a}{d} (ici normalisée sur le pic de l’ordre 1). L’effet de la largeur des fentes n’est pas pris en compte (plus le ratio est faible moins les aigrettes sont lumineuses) :

Comment lire ce graphique ?

Le ratio \frac{a}{d} indique le rapport entre la largeur d’une fente et le pas des fentes. Un ratio de 50% signifie que les fentes sont aussi larges que les bandes opaques qui les séparent. Les masques de Bahtinov classiques que l’on trouve un peu partout sur Internet ont justement ce ratio de 50%.

Sur le graphique on voit qu’à cette valeur, les ordres 1 (courbe bleue) et 3 (courbe orange) sont au maximum, mais que les ordres 2 (courbe rouge) et 4 (courbe verte) sont à 0. Avec de telles fentes, on ne verra que les ordres impairs 1 et 3 (et 5, 7…) mais pas les ordres 2 et 4 (et 6, 8…).

De même, si l’on s’arrange pour qu’une fente fasse 75% du pas des fentes, l’ordre 1 sera allumé à 50%, l’ordre 2 sera au maximum, l’ordre 3 sera à 5% et l’ordre 4 sera éteint :

La largeur des fentes par rapport au pas des fentes a une très forte influence sur la forme des aigrettes.

Espacement des fentes

La distance angulaire \theta qui sépare l’ordre 0 de l’ordre m est tel que (\lambda est la longueur d’onde) :

\sin{\theta}=\dfrac{m \lambda}{d}

Plus le pas d est petit, plus les fentes sont resserrées et plus leur nombre est grand dans le masque. Mais les aigrettes s’affinent et s’étalent au risque de devenir moins visibles.

Il y a des limites :

  • il est physiquement difficile de réaliser des fentes ou bandes opaques très fines avec les imprimantes 3D ou les découpes laser ;
  • plus les fentes sont étroites et serrées, plus les aigrettes sont fines et étalées, à la limite elles peuvent sortir de l’écran.

Enfin, la dissymétrie du masque est responsable du mouvement relatif des aigrettes. Quand toutes convergent en un seul point, la mise au point est faite.

Tout cela peut se mettre en équations.

Le schéma ci-dessous montre la distance L_m qui sépare l’ordre 0 de l’ordre m et la distance H_m qui sépare le pic de l’ordre m d’une barre inclinée par rapport à la barre centrale :

Comme la longueur d’onde \lambda est très inférieure au pas des fentes, cette distance peut s’écrire en fonction de la focale F de l’optique et du pas des fentes :

L_m = m \lambda \dfrac{F}{d} \\
H_m = m \lambda \dfrac{F}{d} \sin \alpha

On note w la distance entre les barycentres des zones des fentes.

w=\dfrac{2 D}{3 \pi}

Si on défocalise de \Delta F, les franges se déplacent de part et d’autre de la position focalisée.

Des considérations de géométrie (Thalès) permettent de déduire le déplacement \Delta H^| de la barre par rapport à sa position initiale :

\Delta H^| =\dfrac{2}{3 \pi} \dfrac{\Delta F}{N}

Ici N=\dfrac{F}{D} est l’ouverture du système optique.

C’est un peu plus compliqué à démontrer, mais le décalage \Delta H^X de l’intersection du X défocalisé par rapport à sa position d’origine est :

\Delta H^X = \dfrac{\sqrt{2}}{3 \pi} \dfrac{\Delta F}{N} (1 + \tan \alpha)

La distance \Delta H entre la barre et le centre du X est donc :

\Delta H = \Delta H^| + \Delta H^X = \dfrac{\sqrt{2}}{3 \pi} \dfrac{\Delta F}{N} \left( 1+\sqrt{2} (1+\tan{\alpha}) \right)

On considère en optique qu’une image est suffisamment bien focalisée quand la défocalisation est inférieure à l’erreur admissible \Delta F_{adm} telle que :

\Delta F_{adm} = 2 \lambda N^2

En remplaçant \Delta F par \Delta F_{adm} on trouve :

\Delta H=\dfrac{2\sqrt{2}}{3 \pi} \lambda N \left( 1+\sqrt{2} (1+\tan{\alpha}) \right)

Maintenant on note :

\delta H = \dfrac{\Delta H}{H_m}

Ce rapport indique l’écart entre le déplacement relatif des aigrettes et la position initiale des maxima. En pratique, on se rend compte que la précision de placement des aigrettes les unes par rapport aux autres, en visuel sur l’écran de Live View d’un appareil photo, est de l’ordre de 5%. On arrive alors à la relation finale \dfrac{F}{d} \geq 26,6 * \dfrac{N}{m} qu’on peut « arrondir à » :

\dfrac{F}{d} \gtrsim 25 * \dfrac{N}{m}

C’est la relation principale qui définit le pas des fentes en fonction de l’ouverture N, de la focale F de l’optique, et de l’ordre de diffraction m qu’on souhaite privilégier.

Nota : Pavel Bahtinov arrive à \frac{F}{d} \geq \frac{150 à 200}{m} pour N = 5 à 8. Ouf, j’arrive au mêmes chiffres.

Variation du pas des fentes

Comment évoluent les aigrettes de diffraction quand on modifie le pas des fentes (c’est à dire leur espacement) et leur dimension relative ?

Dans ce qui suit, on va prendre a/d = 50%. C’est la valeur classique largement éprouvée pour les télescopes de focale moyenne (de 500 mm à plus de 2000 mm). La lecture de la courbe plus haut montre qu’avec ce ratio, ce sont les ordres impairs, notamment 1 et 3 qui sont « allumés ». On a donc :

  • d \lesssim \dfrac{1}{25 * 5} * 750 = 6 mm, et a = 3 mm, pour favoriser l’ordre 1,
  • d \lesssim \dfrac{3}{25 * 5} * 750 = 18 mm, et a = 9 mm, pour favoriser l’ordre 3.

Rien n’empêche malgré tout de retenir un pas différent, par exemple d = 12 mm et a = 6 mm, qui donnera un résultat intermédiaire. Voici à quoi ressembleront les 3 solutions :

Plus les fentes sont resserrées, plus les aigrettes sont étalées.

On voit à gauche que l’ordre 3 sera visible mais assez diffus, alors que l’ordre 1 sera bien défini. À droite, l’ordre 1 est quasiment confondu avec l’ordre 0, mais l’ordre 3 est bien défini. Au centre on se trouve à mi-chemin.

Variation des proportions des fentes

Maintenant intéressons-nous

On veut tester divers pas pour favoriser l’ordre 1 (a/d=50%), l’ordre 2 (a/d = 75%) ou l’ordre 3 (a/d=83%).

  • d \lesssim \dfrac{1 * 135}{25 * 2} = 2,7 mm, et a = 1,35 mm, pour maximiser l’ordre 1,
  • d \lesssim \dfrac{2 * 135}{25 * 2} = 5,4 mm, et a = 4,05 mm, pour maximiser l’ordre 2,
  • d \lesssim \dfrac{3 * 135}{25 * 2} = 8,1 mm, et a = 6,75 mm, pour maximiser l’ordre 3.

Dans les trois cas, la largeur de la bande opaque est de 1,35 mm, ce qui est compatible avec les systèmes d’impression 3D ou de découpe laser (généralement limités à des détails de 1 mm).

Deux constats :

  • la taille des aigrettes à l’ordre ciblé est la même, voir ci-dessus le trait fin qui relie les m=1, m=2 et m=3
  • plus l’ordre ciblé est élevé, plus le centre des aigrettes est lumineux et devient gênant pour faire la mise au point.

On peut tenter de mixer deux solutions en alternant des fentes de 1.35 mm (m=1) et 4.05 mm (m=2), toutes séparées par la bande opaque de 1.35 mm. Ou alterner les fentes de 1.35 mm (m=1) et 6.75 mm (m=3) ou encore 4.05 mm (m=2) et 6.75 mm (m=3). Voici le résultat de ces 3 combinaisons. Une 4ième est ajoutée tout à droite, en mixant les trois solutions ensemble.

On constate que la solution pour m = 1 et 3 (au centre) semble la plus efficace, les premiers ordres sont assez distincts et l’ordre le plus élevé est bien visible, formant des aigrettes plus fines que le disque optimisé pour m = 1 seul.

On peut donc choisir :

  • soit des fentes de même largeur :
a=\dfrac{d}{2}, d=\dfrac{F}{25N}
  • soit des fentes de deux largeurs et deux pas :
 a_1 = \dfrac{d_1}{2} , d_1=\dfrac{F}{25N} { et } a_3=\dfrac{5d_3}{6}, d_3 = \dfrac{3F}{25N}

Pour étaler les aigrettes et mieux les distinguer, il n’y a pas d’autre solution que de réduire le pas. Mais la réduction du pas impose de réduire les largeurs des fentes et des bandes opaques, et on se retrouve limité aux contraintes de fabrication. Par exemple chez Sculpteo, en découpe laser, la distance entre 2 traits de coupe ne peut pas être inférieure à 1 mm pour une plaque acrylique opaque de 1 mm d’épaisseur.

Exemples

Objectif Sigma Art 14 mm f/1.8

Pour un tel objectif, avec un ratio de 50% il faudrait un pas 0,31 mm et des fentes de 0,15 mm ce qui est irréalisable dans des coûts raisonnables. On est donc limité à un pas de 2 mm avec des fentes de 1 mm.

Si on retient des fentes mixes, on aurait une fente de 1 mm suivies d’une bande opaque de 1 mm, puis une fente de 5 mm suivie d’une bande opaque de 1 mm, ainsi de suite.

Objectif Canon 24-70 f/2.8

Pour 24 mm, il faut un pas de 0.34 mm, et pour 70 mm il faut un pas de 1 mm. Dans les deux cas ce n’est pas réalisable, on se contentera d’un pas de 2 mm avec des fentes de 1 mm de large (ratio de 50%).

Objectif Samyang 135 mm f/2

Le pas est de 2.7 mm, et les fentes font 1.35 mm. C’est réalisable.

Lunette RedCat 51 f=250 mm f/4.9

On calcule un pas de 2,04 mm. Les fentes font 1,02 mm ce qui est tout juste réalisable.

Newton 200/1000

Le pas est de 8 mm avec des fentes de 4 mm. C’est tout à fait réalisable, même avec une simple règle et un cutter dans une feuille de plastique suffisamment grande.